Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Чисельні методи в інформатиці
Методичні вказівки
до виконання лабораторної роботи
«Наближене обчислення визначених інтегралів»
для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології»
Затверджено
На засіданні кафедри АСУ
Протокол №10-2008/2009
Від 12.03.2009 року
Львів - 2009
Чисельні методи в інформатиці: Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Наближене обчислення визначених інтегралів» для студентів базового напряму «Комп’ютерні науки» спеціальності «Інформаційні управляючі системи та технології» / Укл.: І.М.Дронюк.- Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2009.-11 с.
Укладач Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.
Відповідальний за випуск Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.
Рецензент Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.
Мета роботи: вивчити методи наближених обчислень визначених інтегралів .
Порядок роботи:
Створити проект для виконання індивідуального завдання.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком
назва роботи
мета роботи
порядок роботи
короткі теоретичні відомості
алгоритм розв’язку задачі
тексти відповідних модулів проекту
аналіз отриманих результатів та висновки
Короткі теоретичні відомості
Нехай деяка функція f(x) задана в вузлах інтерполяції:
(i=1,2,3.,n) на відрізку [а,b] таблицею значень: X0=a
Потрібно знайти значення інтеграла .
Спершу складемо інтерполяційний многочлен Лагранжа:
Для рівновіддалених вузлів інтерполяційний многочлен має вигляд:
де q=(x-x0) /h – крок інтерполяції, замінимо підінтегральну функцію f(x) інтерполяційним многочленом Лагранжа:
Поміняємо знак сумування та інтегралмісцями і винесемо за знак інтеграла постійні елементи:
Оскільки dp=dx/h, то, замінивши межі інтегрування, маємо:
Для рівновіддалених вузлів інтерполяції на відрізку [а,b] величина крок визначається як h=(a-b) /n. Представивши вираз для h і виносячи (b-a) за знак суми, отримаємо:
Покладемо, що
де i=0,1,2.,n; Числа Hi називають коефіцієнтами Ньютона-Кортеса. Ці коэффиценти не залежать від вигляду f(x), а є функцією тільки від n. Тому їх можна обчислити заздалегідь. Загальна квадратурна формула має вигляд:
1. Формула прямокутників
Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=0, то одержимо квадратну формулу методу прямокутників. Нехай на відрізку [a, b] задана неперервна функція . Потрібно обчислити інтеграл
Розіб’ємо відрізок [a, b] на n рівних частин .Кожна з цих сум є інтегральною сумою для на відрізку і тому наближено виражають визначений інтеграл:
(1)
(2)
Ці формули називаються формулами прямокутників. З рис.1 видно, що якщо додатна і зростаюча функція, то формула (1) виражає площу ступінчатої фігури, що складена із “ внутрішніх” прямокутників, а формула (2) – площу фігури, що складена із “зовнішніх” прямокутників. Похибка при цьому буде тим меншою, чим більше число n(тобто чим менший крок поділу).
2. Формула трапецій
Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=1, то одержимо квадратну формулу методу трапецій. Очевидно, що можна отримати більш точне значення інтеграла, якщо дану криву замінити не ступінчатою лінією, як це мало місце у формулі прямокутників, а вписаною ломаною (рис.2). Тоді площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями і заміниться площами трапецій, обмежених зверху хордами Оскільки площа
Рис.1 Рис.2
першої трапеції дорівнює другої - і т.д.,
то
або
(3)
Формула (3) називається формулою трапецій. Число n вибирається довільним, але чим більшим буде це число, тим меншим буде крок, отже з тим більшою точністю сума в правій частині наближеної рівності (3) буде давати значення інтеграла.
3. Формула парабол (Сімпсона)
Якщо в формулі Ньютона-Кортеса взяти n=2, тобто функцію f(x) замінити інтерполяційним м...
